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下の記事で
田村市がない代わりに、川之江市の存在が効いて
と書きましたが、それなら、川之江市消滅から田村市誕生の間はどうだったんだろうと思って、川之江市消滅直後の2004年4月1日のデータで調べてみました。すると、最長リングは何と、N=10という結果が出ました。市りとりングにとっては冬の時代だったと言えるかも知れません。と言っても、寒さで困る人は一人もいなかったでしょうけど(笑)。
しかし、そこからわずか1年半後でこれだけ結果が動いているのですから、さらにたくさんの市が登場している来年の春になったらどんな長い輪ができているでしょうか。また時間があるときにでも気が向いたら調べてみましょう。

あっと言う間に盛り上がって、既にブームが去った感がある(笑)「市の輪」ですが、「市りとりング」なんて名前はいかがですか？

さて、[45329]いっちゃんさんがN=７までの結果を書き込んでいただきました。また、[45319]ゆうさんによるとN=24が存在するとのこと。で、実際、Nの最大値はいくつまでいくのか、気になるところですが、また、たもっちがやってしまいました(笑)。

結論を先に言うと、Nの最大値は２４で、ゆうさんがあげられた輪の1種類が存在します。

ただし、僕は、途中で区切れない「純粋な1周の輪」のみを対象とすることにしました。つまり、[45317]白桃さんが発見された、「『西』の循環の中に『川』の循環が入り込んでいる」ようなものは除くということです。こうした理由は、ひとつには、結果の美しさのようなものにこだわりたかったこともありますが、少しでも調べる対象を絞りたかったことも大きな理由です。つまり、例えば、
山田-田村-村上-上田-
とつながった時に、既に出て来た田村とつなげ得るので、これを排除することで、この先はもう調べなくてもよくなるわけです。なお、「田村-村上-上田」はN=3で登場しているので、ご心配なく。

また余談が長くなりましたが、[45286]でグリグリさんが提起された、
Nが大きくなればだんだん解の数は増えていくと思いますが、ある程度の数になると離散的な分布になるのではないかと思っています。分布を解析するのは面白いテーマかも知れません。また、Nの最大はいくつなのかも興味深いです（市りとりより大きくなることはないのはわかっていますが）。
という問題について、分布状況を羅列してみます。

N	パターン数
1	10
2	1
3	4
4	5
5	7
6	16
7	7
8	24
9	17
10	36
11	50
12	42
13	55
14	34
15	34
16	32
17	53
18	33
19	64
20	16
21	31
22	4
23	10
24	1

一応、離散的にはならず、N=24まで連続した形になりましたが、その変化は単調ではなく、かなりでこぼこしています。ピークはN=19の64パターンとなりました。ただし、府中市を含むものは、2回ずつカウントされていますので、これを除くとすると、51パターンに減ってしまい、N=13の54パターンがピークになります。

次に、どの市がよく出て来てるのかが気になったので調べてみました。全586パターンのうち、のべ登場頻度のベストテンです。

順位	市	頻度
1	田村	533
2	村上	523
3	上天草	472
4	草加	461
5	加須	382
6	須坂	345
7	川西	327
8	津山	317
9	坂東	306
10	山鹿	275

[45329]いっちゃんさんもおっしゃっているとおり、田村の存在がかなり大きくなっています。驚くべきことには、田村はN=13以上の367パターンのすべてに含まれているのです。つまり、田村市が存在しなかったならば、Nの最大値は１２にまで減ってしまうと言うことです。ちなみに、村上もまた同様です。

ところで、今回は、「Circle City」の時から少し進歩して、ExcelのVBAでプログラムを組んで、作業をほぼ完全に自動化できましたので、市の増減にも割と簡単に対処できるようになりました。そこで、市区町村のデータベース検索ページで検索できる一番古い2003年9月のデータを放り込んで走らせてみたところ、田村市がない代わりに、川之江市の存在が効いて、Nの最大値は１７ということになりました。一例を挙げておきます。

宮津-津山-山鹿-鹿児島-島原-原町-町田-田川-川之江-江別-別府-府中-中村-村上-上尾-尾西-西宮-

登場頻度も次のような具合で、今とはかなり顔ぶれが違います。と言うより、この2年間の合併で顔ぶれが変わったわけですよね。

順位	市	頻度
1	田川	117
2	川之江	114
3	別府	104
3	府中	104
3	府中	104
3	江別	104
7	山鹿	85
8	中村	82
9	村上	64
10	津山	43

村上も田村の登場で俄然活躍の場が増えたのですね。

それから、ひとつ目に付いたのが、当時はN=2が2通りあったこと。「向日-日向」ともうひとつ何だったか、ぱっと思い出せますか？僕は、「あぁ・・・そんな市もあったなぁ・・・というか、いつの間にかなくなってたんだなぁ・・・」と、一瞬遠い目になってしまいました(笑)。


あ！だらだらと書いている間に、いっちゃんさんに先を越された！(笑)
同じ結果が出ましたね。安心しました。

[45266] 倉田昆布さん
解を全部見つけてしまおう…と思ってましたが、[45255]（たもっちさん）を読んで潔く諦めることにしました…
賢明はご判断だと思います。何しろ、解は全部で28964通りにもなりましたから・・・、そうなんです、結局全部求めてしまったのです。アホですわ(笑)。

今回は、2005年10月11日現在の市で考えました。[45255]では9月末現在の市で考えてかけていたのですが、あの時点で既に漏れがたくさんありそうだったことと、時間的に、10月1日になるまでに解を出し終えられる見込みが薄かった、つまり、せっかっく解が求まっても、その時点で既に古くなってしまうことが確実だったので、それは一旦破棄して、一から考えることにしたのでした。
解の求め方は、ゆうさんの「市りとり」のように、プログラムを組んでコンピューターにやらせられれば一番スマートで正確なのですが、そこまでのスキルが僕にはないもので、エクセルでひたすら数式を書いて条件に合う市を抽出していく、いわば力技です。それでも、[45255]を書く前と比べると、手作業に頼る部分をかなり減らせましたし、ミスもかなり減っていると思います。何より、時間をかなり短縮できました。ただ、それでも、ミスが全くないという自信は全然ありませんので、どうしても正確な数字が知りたい方は、ご自分で求めてみてください、いや、ウソです、やめといたほうがいいです(笑)。

さて、能書きはこのくらいにして、せっかくですから、解を紹介しましょう。と言っても、もちろん、28964通り全部というわけにはいかないので、いくつか特徴的な解をあげさせていただきます。

まず、解を構成する市の人口に着目して、最大、最小のものを探してみました。

		大	牟	田
	松	阪		村	上
八	戸				山	鹿
幡						児
浜	松				福	島
	浦	安		豊	岡
		中	津	川

7,473,285人となりました。平均467,080人です。やはり大阪市は外せないでしょう。ちなみに、横浜の入った解はありませんでした。

		江	田	島
	海	津		田	川
泉	南				西	尾
大						花
津	山				三	沢
	田	村		竹	田
		上	野	原

1,169,993人です。平均73,124人です。最大でも、川西の157,397人です。

続いて、面積最大と最小です。

		富	士	宮
	郡	山		古	川
北	上				西	宮
秋						古
田	村				福	島
	上	山		高	山
		鹿	児	島

11,709.74平方km（平均731平方km）になります。高山、富山、郡上、北秋田と1000平方kmを超える市がたくさん入っているのが目立ちます。なお、右下あたりの「福」と「高」は入れ替えることができます。

		上	天	草
	西	尾		加	須
東	海				坂	東
村						大
山	田				大	和
	川	西		羽	村
		宮	古	島

こちらは、1,574.54平方km（平均98平方km）しかありません。最大でも西海市の241.93平方kmしかありません。

最後に、都道府県庁所在地を多く含む解ですが、[45228]YUTAさんのお見込みのとおり、６市が最高で、３６通りありました。YUTAさんの解とできるだけかぶらないものをひとつ紹介しておきます。

		宮	古	島
	岡	崎		田	村
上	山				山	鹿
天						児
草	加				福	島
	須	坂		大	津
		東	大	阪

ちなみに、拙稿[45206]でこだわった、同じ文字を複数回使わない解は537種類ありました。

なお、上記の解の数はすべて、対称形のものを数えていません。すべての解は、右上と左下を入れ替えてもまた成り立ちますので、それらを重複して数えることにすれば、解の数はすべて２倍になります。また、府中市の扱いはちょっと迷ったのですが、複数あると考えるのがとても面倒だったので、ひとつしかないものとして考えています。


さて、そうこうしているうちに、いろんな形のパズルが考えられていますね。特に、[45263]seifuhiroさんの「Love City」はとてもツボです。「Circle City」よりも使う市の数が多いので解もたくさん出てきそうですね。もちろん、全部求めようなんてことは微塵も考えちゃいませんよ(笑)。

昨夜は、２年ぶりの嬉しいことがあり、久し振りに家で酔っ払っていました。
そんな中でいっちゃんさんの例のパズルを考えていたのですが、やはり途中で力尽き、パソコンの前で寝てしまっていました。そのせいで首と肩が痛くて、首を横に向けるのもままならない状態です。

拙稿[45196]で、
別解の数は最低でも数十個、下手すると３桁行くかも知れませんね。
と書きましたが、その後調べているうちに、３桁でもおさまらないんじゃないかと思い始めました。
今のところ、下辺または右辺に入り得る「三文字市」を、次の１５市まで絞り込むことができました。ただし、この中に、実際に解にならないものがまだ含まれている可能性もあります。
上福岡、津久見、上野原、南魚沼、中津川、尾花沢、鹿児島、海老名、東近江、東大阪、東松山、東村山、東広島、東松島、東大和
さらに、下辺～右辺のつながりに着目し、２つの「三文字市」が取り得る組み合わせを絞り込んでみたところ、今のところ、６９組（下辺と右辺の入れ替え分は除く。）まで絞れました。この６９組それぞれに対し、解がどれくらいずつ存在するかを知りたいと思い、とりあえず、上福岡と東○○の７通りの組み合わせを調べてみました。これらを選んだのは、解が少なそうだと思ったことによります。実際、それぞれの三文字市を下辺に置いた時に左辺に入り得る三文字市は、鹿児島に対しては、２７市もの可能性がありますが、上福岡に対しては、泉大津、二本松、木更津の３市のみ、東○○に対しては、上天草に限られます。
前置きが長くなりましたが、解が比較的少ないと予想する「上福岡と東○○の７通りの組み合わせ（６９通りの内）」に対して、見つかった解は何と２４９通りにもなりました！他の６２通りの組み合わせに対する解の数が同じ程度としても２０００以上、下手すると軽く１万突破かもしれません。
実は、解の中で、総人口の多い組み合わせを探してみようと思い、せいぜい数百なら、すべての解を探して人口を求めてみればいいや、と軽く考えていたのですが、かなりの部分を手作業に頼る今のやり方ではとてもじゃないが無理だということがわかりました。ただ、このパズルは要するに「市りとり」をちょっといじって、文字数の条件をつけて、輪っかにしたものと考えることもできるので、うまいやり方はあるんだろうと思います。・・・ゆうさん、いかがですかね？(笑)

＃以上、いろいろと数字が出てきますが、計上漏れや重複計上等が考えられますので、参考程度にご覧ください。
＃何分手作業が多いもので・・・。
＃そもそも、そんな真剣にご覧のかたはいらっしゃらないでしょうが(笑)。


ところで、上に書いた２４９通りを全部書こうかと思ったのですが、荒らし同然になるのでやめておきます。いっちゃんさん、メールででもお送りしましょうか？(笑)


P.S.
書き込み後、[45228]YUTAさんの2つ目の解が、上記の条件に当てはまるにもかかわらず、漏れていることに気が付きました。原因を調べてみると、
上福岡に対しては、泉大津、二本松、木更津の３市のみ
と書いた部分が誤りで、伊勢原、小田原、上野原、相模原、大田原を加えて、８市の可能性があることがわかりました。と、いうわけで、解の数はさらに増えそうです(苦笑)。

さらに粘って会心の解を見つけました。

◇◇伊勢原◇◇
◇大東◇町田◇
富津◇◇◇村上
士◇◇◇◇◇福
宮古◇◇◇長岡
◇川西◇玉野◇
◇◇海老名◇◇

何が会心かというと、同じ文字を複数回使わないことにこだわってしまったのです。だから偉いというものでもありませんが、こんな楽しみもありかな・・・と。

ところで、[45203]YUTAさん、上辺真ん中は「都」ですよね・・・。